Esfera

                   ESFERA

Você já observou o encantamento das crianças com as bolhas de sabão?

                     

            

O fascínio pela forma esférica aparece bem cedo em nossa vida, talvez porque muitas das mais belas construções da natureza tenham essa forma.

                     

A atração pela forma esférica não é prerrogativa do homem moderno, pois desde a Antiguidade grega essa forma é considerada padrão de equilíbrio e perfeição, como mostra a frase a seguir, creditada a Aristóteles (384-322 a.C.):

“O CÉU DEVE SER NECESSARIAMENTE ESFÉRICO, POIS A ESFERA SENDO GERADA PELA ROTAÇÃO DO CÍRCULO, É, DE TODOS OS CORPOS, O MAIS PERFEITO.”

Além  do fascínio estético, a forma estética permitiu grandes invenções e descobertas. O próprio Aristóteles foi um dos primeiros pensadores e defender a concepção esférica da Terra. Seus argumentos fundamentavam-se no fato de a sombra da Terra sobre a Lua ser circular, em um eclipse lunar.

 

Neste item estudaremos a esfera, seus elementos e propriedades. Acompanhe as definições a seguir.

Considerando a definição acima, temos:

·         O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são MENORES que R é chamado de INTERIOR da esfera;

·         O conjunto dos pontos do espaço cuja distância ao ponto O são IGUAIS a R é chamado de SUPERFÍCIE ESFÉRICA;

·         O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são MAIORES que R é chamado de EXTERIOR da esfera.

Por essas definições, concluímos que  a esfera é maciça enquanto a superfície esférica é apenas a “casca” da esfera. Dois bons modelos para representar esses objetos, respectivamente, são:  

 

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UM PLANO E UMA ESFERA

PLANO SECANTE A UMA ESFERA

Um plano α é SECANTE a uma esfera se, e somente se, ambos têm em comum infinitos pontos. Esses infinitos pontos comuns formam um círculo chamado de SECÇÃO PLANA da esfera.

 

Sendo R a medida do raio da esfera, r a medida do raio de uma secção plana e d, com d>0, a distância do plano α ao centro O da esfera, temos, pelo teorema de Pitágoras:

PLANO TANGENTE A UMA ESFERA

Um plano α é TANGENTE a uma esfera se, e somente se , ambos têm em comum um único ponto.

PLANO EXTERIOR A UMA ESFERA

Um plano α é EXTERIOR  a uma esfera se, e somente se,  não existe ponto comum a ambos.

 

VOLUME DE UMA ESFERA

Para o cálculo do volume da esfera, utilizamos um sólido auxiliar chamado de ANTICLEPSIDRA.

Esse sólido é obtido retirando-se de um cilindro equilátero de diâmetro 2R dois cones cujas bases coincidem com as bases do cilindro e cujos vértices coincidem com o centro do cilindro.

Assim, o VOLUME DA ANTICLEPSIDRA  é igual à diferença entre o volume do cilindro equilátero de raio da base R e O volume do sólido formado por dois cones circulares retos de altura R e raio da base R.

 

Vamos demonstrar, agora, que o volume dessas  anticlepsidra é igual ao volume de uma esfera de raio R. Para isso, consideremos esses dois sólidos em um mesmo semiespaço de origem em um plano α de modo que a base da anticlepsidra esteja contida em α e a esfera seja tangente a α:

 

 

Note que o raio interno dessa coroa é igual à distância d entre o plano β e o centro da anticlepsidra. Para compreender essa afirmação, considere uma secção meridiana da anticlepsidra:

                          

O triângulo VMN é isósceles; logo, o raio interno da coroa circular é igual a d. Assim, a área A₂ dessa coroa é:         A₂= π(R² - d²)

Observe que  A₁=A₂

Resumindo, todo plano que secciona a esfera também secciona a anticlepsidra, determinando, em ambas, secções de mesma área. Logo, pelo princípio de Cavalieri, a esfera tem o mesmo volume da anticlepsidra. Assim:

 

ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA

Demonstra-se que:

 

ESFERA TENGENTES

Duas esferas são TANGENTES se, e somente se, suas superfícies têm um único ponto comum.

 

PROPRIEDADE

FUSO ESFÉRICO E CUNHA ESFÉRICA

Para poder definir fuso esférico e cunha esférica, é necessário o conceito de ÂNGULO DIEDRO.

Dois semiplanos, p₁ e p₂, de mesma origem s separam o espaço em duas partes. A reunião desses semiplanos com cada uma dessas partes é chamada de ÂNGULO DIEDRO de faces p₁ e p₂ e aresta s. A medida α do ângulo entre as faces á a medida do ângulo diedro.

     

Para visualizar melhor uma cunha e um fuso esférico, façamos dois cortes em uma laranja com uma faca passando pelo centro da fruta. O pedaço limitado por esses cortes lembra uma cunha esférica, e a casca contida nesse pedaço dá a ideia de fuso esférico.