Cone Circular

           CONE CIRCULAR

Podemos descrever os formatos de um tornado e da concha abaixo como alongados e afunilados. Uma descrição equivalente é que eles têm, aproximadamente, a FORMA CÔNICA. 

Essa forma, tão frequente na natureza, também está presente nas construções feitas pelo homem, desde uma simples casquinha de sorvete até grandes estruturas, por exemplo, em partes de silos de armazenamento  de grãos. 

Esses objetos lembram o CONE CIRCULAR, que é caracterizado por ter uma base circular e por todos os seus pontos formarem segmentos de reta com um extremo nessa base e o outro extremo em um mesmo ponto V , fora da base, conforme definimos a seguir.

Sejam um círculo C de centro O, contido em um plano α, e um ponto V não pertence a α. Consideremos todos os segmentos de reta que possuem um extremo pertencente ao círculo C e o outro no ponto V. A reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado cone circular limitado ou simplesmente CONE CIRCULAR.

 

                                                             

ELEMENTOS DE UM CONE

Observando o cone apresentado na definição, nomeamos alguns elementos:

·         O círculo C e o ponto V são chamados, respectivamente, de BASE e VÉRTICE do cone;

·         A reta OV é chamada de EIXO do cone;

·         O raio do círculo C é chamado de RAIO DE BASE do cone;

·         A distância entre o vértice e o plano da base é chamada de ALTURA do cone;

·         Todo segmento de reta cujos extremos são o ponto V e um ponto da circunferência da base é chamado de GERATRIZ do cone. 

 

  

SECÇÃO MERIDIANA DE UM CONE

A intersecção de um cone com um plano que passa pelo vértice e pelo centro de sua base é chamada de SECÇÃO MERIDIANA do cone. 

CONE CIRCULAR RETO E CONE CIRCULAR OBLÍQUO

Cone circular RETO é todo cone circular cujo eixo é perpendicular ao plano da base. Um cone circular que não é reto é chamado de cone circular OBLÍQUO.

                                                             

 

Nota:

O cone circular reto também é conhecido como CONE DE REVOLUÇÃO, pois pode obtido por uma revolução (rotação) de 360° de um retângulo em torno de um dos catetos. 

O TEOREMA DE PITÁGORAS E O CONE CIRCULAR RETO

Consideremos um cone circular reto tal que o raio da base, a geratriz e a altura meçam r,g e h, respectivamente, conforme mostra a figura abaixo.

ÁREA LATERAL E ÁREA TOTAL DE UM CONE CIRCULAR RETO

Para entender melhor este tópico, vamos planificar um cone circular reto. Para isso, recorte o cone montado no exercício proposto 15, obtendo um círculo e um setor circular, conforme mostra a figura abaixo.

Note que a superfície de um cone circular reto com raio da base r e geratriz de medida g é equivalente à reunião de um círculo de raio r com um setor circular de raio g e arco de comprimento 2πr. 

ÁREA LATERAL

A ÁREA LATERAL Aᶫ de um cone qualquer é a área da superfície formada pela reunião de todas as geratrizes do cone.  Observando a planificação feita na página anterior, concluímos que a área lateral Aᶫ  de um cone circular reto de geratriz g e raio da base r é igual à área de um setor circular de raio g e arco de medida 2πr. Como a área do setor é proporcional ao seu comprimento, podemos calcular Aᶫ pela regra de três:

ÁREA TOTAL

A ÁREA TOTAL At de um cone qualquer é a soma da área lateral com a área da base. No caso do cone circular reto, planificado na página anterior, temos:

Nota:

A medida 0, em grau, do ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral do cone é obtida pela regra de três: 

VOLUME DE UM CONE CIRCULAR

Consideremos um cone circular de altura h, com raio da base r, e uma  pirâmide com a mesma altura h, cuja base é um quadrado de lado r√π. Suponhamos que esses sólidos estejam em um mesmo semiespaço com origem em um plano α e que suas bases estejam contidas em α, conforme mostra a figura: 

A área B da base do cone, b= πr², é igual à área B’ da base da pirâmide, B’ = (r√π)² =πr². Todo plano β, paralelo a α, que determina uma secção de área b no cone, determina também uma secção de área b’ na pirâmide, tal que:   

Em que d é a distância de β ao vértice do cone (ou ao vértice da pirâmide).

Resumindo:

·         O cone e a pirâmide têm bases equivalentes;

·         Todo plano β, paralelo a α, que secciona um dos sólidos também secciona o outro, determinado neles secções equivalentes.

Assim, pelo príncipe de Cavalieri, os sólidos têm volumes iguais. O volume V da pirâmide, que é igual ao volume do cone, é dado por:

TRONCO DE CONE CIRCULAR DE BASES PARALELAS 

Consideremos um plano α paralelo à base de um cone circular C separando-o em dois sólidos. Um desses sólidos é um cone C’ e o outro é um TRONCO DE CONE CIRCULAR DE BASES PARALELAS.  

Note que o volume V tronco  do tronco é igual à diferença entre os volume Vc e Vc’ dos cones C  e C’, respectivamente, isto é: