Cilindro

      CILINDRO 

Você provavelmente já observou algo em comum na forma da vela e dos gizes, como os mostrados nas fotos: 

Todos eles têm duas bases circulares paralelas e congruentes, e todos os seus pontos formam segmentos de reta paralelos, com cada extremo numa dessas duas bases. Por isso dizemos que esses objetos têm a forma de CILINDRO CIRCULAR, figura que definiremos a seguir.

Sejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta s secante a esses planos e um círculo C de  centro O contido em α. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles tenha um estremo pertencente ao círculo C e o outro extremo pertencente a β.

                         

A reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado cilindro circular limitado ou, simplesmente, CILINDRO.

ELEMENTOS DE UM CILINDRO CIRCULAR

   Observando o cilindro apresentado na definição, nomeamos alguns elementos:

·         Os círculos C e C, de centros O e O’, respectivamente, são chamados de BASES do cilindro;

·         A reta OO’ é chamada de EIXO do cilindro;

·         O raio do círculo C é chamado de RAIO da base do cilindro;

·         A distância entre as bases é chamada de ALTURA do cilindro;

·         Todo segmento d ereta, paralelo ao eixo OO’, que tem extremidades pertencentes ás circunferências das bases, é chamado de GENATRIZ do cilindro. 

                                        

SELEÇÃO MERIDIANA D EUM CILINDRO

A interseção de um cilindro com um plano que passa pelos centros de suas bases é chamada de SECÇÃO MERIDIANA do cilindro.  

 

CILINDRO CIRCULAR RETO E CILINDRO CIRCULAR OBLÍQUO

Cilindro circular RETO é todo cilindro circular cujas geratrizes são perpendiculares às bases. Um cilindro circular que não é reto é chamado de cilindro circular OBLÍQUO.  

Nota:

O cilindro circular reto também é conhecido como CILINDRO DE REVOLUVÃO, pois pode ser obtido por uma revolução (rotação) de 360° d eum retângulo em torno de um eixo que contém de seus lados.  

                                                    

ÁREA LATERAL E ÁREA TOTAL DE UM CILINDRO CIRCULAR RETO

Para entender melhor este tópico, vamos planificar um cilindro circular reto. Para isso recorte o cilindro montado, obtendo dois círculos e um retângulo, conforme a figura abaixo.

   

   Note que a superfície de um cilindro circular reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de um retângulo, se dimensões 2πr e h, com dois círculos de raio r. 

ÁREA LATERAL 

A ÁREA LATERAL Aᶫ de um cilindro qualquer é a área da superfície formada pela reunião de todas as geratrizes do cilindro.

Observando a planificação feita acima, concluímos que a área lateral Aᶫ de um cilindro circular reto de aluta h e raio da ase r é igual à área de um retângulo de altura h e base 2πr. Assim:

                                          

ÁREA TOTAL

A ÁREA TOTAL At de um cilindro qualquer é a soma de área lateral At com as áreas das bases. No caso do cilindro circular reto, planificado acima, temos:

    

VOLUME DE UM CILINDRO CIRCULAR

Consideramos um cilindro de altura h com raio de base r e um prisma de mesma altura h cuja base é um quadrado de lado r √r. suponhamos que esses sólidos estejam em um mesmo semiespaço de origem em plano α e que suas bases estejam contidas em α.

                 

Note que a área da base do cilindro, πr², é igual à área de base do prisma, (r√π)²= πr²

Qualquer plano β, paralelo a α, que intercepta um desses sólidos também intercepta o outro e determina neles secção de mesma área πr², pois cada secção é congruente à base do respectivo sólido. Assim, pelo princípio de cavalieri, esses sólidos têm volumes iguais. Como o volume do prisma é o produto da área da base pela sua altura, concluímos que: