Apresentação

Olá, primeiramente obrigado pela visita. Bom, este blog é redicionado para a matéria matemática, feito por intermédio de nossa Professora. Nosso tema é Corpos Redondos, estaremos aqui explicando e exemplificando cada item, de cada novo tópico a ser abordado. Espero que goste prof! Beijos queridos leitores.

E aqui vai uma vídeo aula.

Corpos Redondos

   Introdução  

Observando as propriedades físicas e geométricas dos objetos da natureza, o homem teve inspiração para grandes descobertas e invenções. Por exemplo, a invenção da roda, uma das mais importantes criações humanas, provavelmente teve origem na constatação de que objetos pesados podem ser deslocados com facilidade sobre troncos de árvores. 

Estudando a forma aerodinâmica da asa dos pássaros, o homem conseguiu criar várias formas eficientes de asas de avião. Muitos tipos de asas têm a face superior arredondada e a face inferior quase plana. Assim, quando o avião avança, a parte dianteira da asa divide o as, de modo que o ar que passa sobre a superfície superior se expande ( se rarefaz) reduzindo a pressão. Em consequência, a expressão exercida no lado de baixo da asa produz a força que empurra o avião para cima.

                                                   

Cilindro

      CILINDRO 

Você provavelmente já observou algo em comum na forma da vela e dos gizes, como os mostrados nas fotos: 

Todos eles têm duas bases circulares paralelas e congruentes, e todos os seus pontos formam segmentos de reta paralelos, com cada extremo numa dessas duas bases. Por isso dizemos que esses objetos têm a forma de CILINDRO CIRCULAR, figura que definiremos a seguir.

Sejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta s secante a esses planos e um círculo C de  centro O contido em α. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles tenha um estremo pertencente ao círculo C e o outro extremo pertencente a β.

                         

A reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado cilindro circular limitado ou, simplesmente, CILINDRO.

ELEMENTOS DE UM CILINDRO CIRCULAR

   Observando o cilindro apresentado na definição, nomeamos alguns elementos:

·         Os círculos C e C, de centros O e O’, respectivamente, são chamados de BASES do cilindro;

·         A reta OO’ é chamada de EIXO do cilindro;

·         O raio do círculo C é chamado de RAIO da base do cilindro;

·         A distância entre as bases é chamada de ALTURA do cilindro;

·         Todo segmento d ereta, paralelo ao eixo OO’, que tem extremidades pertencentes ás circunferências das bases, é chamado de GENATRIZ do cilindro. 

                                        

SELEÇÃO MERIDIANA D EUM CILINDRO

A interseção de um cilindro com um plano que passa pelos centros de suas bases é chamada de SECÇÃO MERIDIANA do cilindro.  

 

CILINDRO CIRCULAR RETO E CILINDRO CIRCULAR OBLÍQUO

Cilindro circular RETO é todo cilindro circular cujas geratrizes são perpendiculares às bases. Um cilindro circular que não é reto é chamado de cilindro circular OBLÍQUO.  

Nota:

O cilindro circular reto também é conhecido como CILINDRO DE REVOLUVÃO, pois pode ser obtido por uma revolução (rotação) de 360° d eum retângulo em torno de um eixo que contém de seus lados.  

                                                    

ÁREA LATERAL E ÁREA TOTAL DE UM CILINDRO CIRCULAR RETO

Para entender melhor este tópico, vamos planificar um cilindro circular reto. Para isso recorte o cilindro montado, obtendo dois círculos e um retângulo, conforme a figura abaixo.

   

   Note que a superfície de um cilindro circular reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de um retângulo, se dimensões 2πr e h, com dois círculos de raio r. 

ÁREA LATERAL 

A ÁREA LATERAL Aᶫ de um cilindro qualquer é a área da superfície formada pela reunião de todas as geratrizes do cilindro.

Observando a planificação feita acima, concluímos que a área lateral Aᶫ de um cilindro circular reto de aluta h e raio da ase r é igual à área de um retângulo de altura h e base 2πr. Assim:

                                          

ÁREA TOTAL

A ÁREA TOTAL At de um cilindro qualquer é a soma de área lateral At com as áreas das bases. No caso do cilindro circular reto, planificado acima, temos:

    

VOLUME DE UM CILINDRO CIRCULAR

Consideramos um cilindro de altura h com raio de base r e um prisma de mesma altura h cuja base é um quadrado de lado r √r. suponhamos que esses sólidos estejam em um mesmo semiespaço de origem em plano α e que suas bases estejam contidas em α.

                 

Note que a área da base do cilindro, πr², é igual à área de base do prisma, (r√π)²= πr²

Qualquer plano β, paralelo a α, que intercepta um desses sólidos também intercepta o outro e determina neles secção de mesma área πr², pois cada secção é congruente à base do respectivo sólido. Assim, pelo princípio de cavalieri, esses sólidos têm volumes iguais. Como o volume do prisma é o produto da área da base pela sua altura, concluímos que:  

   

Cone Circular

           CONE CIRCULAR

Podemos descrever os formatos de um tornado e da concha abaixo como alongados e afunilados. Uma descrição equivalente é que eles têm, aproximadamente, a FORMA CÔNICA. 

Essa forma, tão frequente na natureza, também está presente nas construções feitas pelo homem, desde uma simples casquinha de sorvete até grandes estruturas, por exemplo, em partes de silos de armazenamento  de grãos. 

Esses objetos lembram o CONE CIRCULAR, que é caracterizado por ter uma base circular e por todos os seus pontos formarem segmentos de reta com um extremo nessa base e o outro extremo em um mesmo ponto V , fora da base, conforme definimos a seguir.

Sejam um círculo C de centro O, contido em um plano α, e um ponto V não pertence a α. Consideremos todos os segmentos de reta que possuem um extremo pertencente ao círculo C e o outro no ponto V. A reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado cone circular limitado ou simplesmente CONE CIRCULAR.

 

                                                             

ELEMENTOS DE UM CONE

Observando o cone apresentado na definição, nomeamos alguns elementos:

·         O círculo C e o ponto V são chamados, respectivamente, de BASE e VÉRTICE do cone;

·         A reta OV é chamada de EIXO do cone;

·         O raio do círculo C é chamado de RAIO DE BASE do cone;

·         A distância entre o vértice e o plano da base é chamada de ALTURA do cone;

·         Todo segmento de reta cujos extremos são o ponto V e um ponto da circunferência da base é chamado de GERATRIZ do cone. 

 

  

SECÇÃO MERIDIANA DE UM CONE

A intersecção de um cone com um plano que passa pelo vértice e pelo centro de sua base é chamada de SECÇÃO MERIDIANA do cone. 

CONE CIRCULAR RETO E CONE CIRCULAR OBLÍQUO

Cone circular RETO é todo cone circular cujo eixo é perpendicular ao plano da base. Um cone circular que não é reto é chamado de cone circular OBLÍQUO.

                                                             

 

Nota:

O cone circular reto também é conhecido como CONE DE REVOLUÇÃO, pois pode obtido por uma revolução (rotação) de 360° de um retângulo em torno de um dos catetos. 

O TEOREMA DE PITÁGORAS E O CONE CIRCULAR RETO

Consideremos um cone circular reto tal que o raio da base, a geratriz e a altura meçam r,g e h, respectivamente, conforme mostra a figura abaixo.

ÁREA LATERAL E ÁREA TOTAL DE UM CONE CIRCULAR RETO

Para entender melhor este tópico, vamos planificar um cone circular reto. Para isso, recorte o cone montado no exercício proposto 15, obtendo um círculo e um setor circular, conforme mostra a figura abaixo.

Note que a superfície de um cone circular reto com raio da base r e geratriz de medida g é equivalente à reunião de um círculo de raio r com um setor circular de raio g e arco de comprimento 2πr. 

ÁREA LATERAL

A ÁREA LATERAL Aᶫ de um cone qualquer é a área da superfície formada pela reunião de todas as geratrizes do cone.  Observando a planificação feita na página anterior, concluímos que a área lateral Aᶫ  de um cone circular reto de geratriz g e raio da base r é igual à área de um setor circular de raio g e arco de medida 2πr. Como a área do setor é proporcional ao seu comprimento, podemos calcular Aᶫ pela regra de três:

ÁREA TOTAL

A ÁREA TOTAL At de um cone qualquer é a soma da área lateral com a área da base. No caso do cone circular reto, planificado na página anterior, temos:

Nota:

A medida 0, em grau, do ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral do cone é obtida pela regra de três: 

VOLUME DE UM CONE CIRCULAR

Consideremos um cone circular de altura h, com raio da base r, e uma  pirâmide com a mesma altura h, cuja base é um quadrado de lado r√π. Suponhamos que esses sólidos estejam em um mesmo semiespaço com origem em um plano α e que suas bases estejam contidas em α, conforme mostra a figura: 

A área B da base do cone, b= πr², é igual à área B’ da base da pirâmide, B’ = (r√π)² =πr². Todo plano β, paralelo a α, que determina uma secção de área b no cone, determina também uma secção de área b’ na pirâmide, tal que:   

Em que d é a distância de β ao vértice do cone (ou ao vértice da pirâmide).

Resumindo:

·         O cone e a pirâmide têm bases equivalentes;

·         Todo plano β, paralelo a α, que secciona um dos sólidos também secciona o outro, determinado neles secções equivalentes.

Assim, pelo príncipe de Cavalieri, os sólidos têm volumes iguais. O volume V da pirâmide, que é igual ao volume do cone, é dado por:

TRONCO DE CONE CIRCULAR DE BASES PARALELAS 

Consideremos um plano α paralelo à base de um cone circular C separando-o em dois sólidos. Um desses sólidos é um cone C’ e o outro é um TRONCO DE CONE CIRCULAR DE BASES PARALELAS.  

Note que o volume V tronco  do tronco é igual à diferença entre os volume Vc e Vc’ dos cones C  e C’, respectivamente, isto é:

 

Esfera

                   ESFERA

Você já observou o encantamento das crianças com as bolhas de sabão?

                     

            

O fascínio pela forma esférica aparece bem cedo em nossa vida, talvez porque muitas das mais belas construções da natureza tenham essa forma.

                     

A atração pela forma esférica não é prerrogativa do homem moderno, pois desde a Antiguidade grega essa forma é considerada padrão de equilíbrio e perfeição, como mostra a frase a seguir, creditada a Aristóteles (384-322 a.C.):

“O CÉU DEVE SER NECESSARIAMENTE ESFÉRICO, POIS A ESFERA SENDO GERADA PELA ROTAÇÃO DO CÍRCULO, É, DE TODOS OS CORPOS, O MAIS PERFEITO.”

Além  do fascínio estético, a forma estética permitiu grandes invenções e descobertas. O próprio Aristóteles foi um dos primeiros pensadores e defender a concepção esférica da Terra. Seus argumentos fundamentavam-se no fato de a sombra da Terra sobre a Lua ser circular, em um eclipse lunar.

 

Neste item estudaremos a esfera, seus elementos e propriedades. Acompanhe as definições a seguir.

Considerando a definição acima, temos:

·         O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são MENORES que R é chamado de INTERIOR da esfera;

·         O conjunto dos pontos do espaço cuja distância ao ponto O são IGUAIS a R é chamado de SUPERFÍCIE ESFÉRICA;

·         O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são MAIORES que R é chamado de EXTERIOR da esfera.

Por essas definições, concluímos que  a esfera é maciça enquanto a superfície esférica é apenas a “casca” da esfera. Dois bons modelos para representar esses objetos, respectivamente, são:  

 

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UM PLANO E UMA ESFERA

PLANO SECANTE A UMA ESFERA

Um plano α é SECANTE a uma esfera se, e somente se, ambos têm em comum infinitos pontos. Esses infinitos pontos comuns formam um círculo chamado de SECÇÃO PLANA da esfera.

 

Sendo R a medida do raio da esfera, r a medida do raio de uma secção plana e d, com d>0, a distância do plano α ao centro O da esfera, temos, pelo teorema de Pitágoras:

PLANO TANGENTE A UMA ESFERA

Um plano α é TANGENTE a uma esfera se, e somente se , ambos têm em comum um único ponto.

PLANO EXTERIOR A UMA ESFERA

Um plano α é EXTERIOR  a uma esfera se, e somente se,  não existe ponto comum a ambos.

 

VOLUME DE UMA ESFERA

Para o cálculo do volume da esfera, utilizamos um sólido auxiliar chamado de ANTICLEPSIDRA.

Esse sólido é obtido retirando-se de um cilindro equilátero de diâmetro 2R dois cones cujas bases coincidem com as bases do cilindro e cujos vértices coincidem com o centro do cilindro.

Assim, o VOLUME DA ANTICLEPSIDRA  é igual à diferença entre o volume do cilindro equilátero de raio da base R e O volume do sólido formado por dois cones circulares retos de altura R e raio da base R.

 

Vamos demonstrar, agora, que o volume dessas  anticlepsidra é igual ao volume de uma esfera de raio R. Para isso, consideremos esses dois sólidos em um mesmo semiespaço de origem em um plano α de modo que a base da anticlepsidra esteja contida em α e a esfera seja tangente a α:

 

 

Note que o raio interno dessa coroa é igual à distância d entre o plano β e o centro da anticlepsidra. Para compreender essa afirmação, considere uma secção meridiana da anticlepsidra:

                          

O triângulo VMN é isósceles; logo, o raio interno da coroa circular é igual a d. Assim, a área A₂ dessa coroa é:         A₂= π(R² - d²)

Observe que  A₁=A₂

Resumindo, todo plano que secciona a esfera também secciona a anticlepsidra, determinando, em ambas, secções de mesma área. Logo, pelo princípio de Cavalieri, a esfera tem o mesmo volume da anticlepsidra. Assim:

 

ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA

Demonstra-se que:

 

ESFERA TENGENTES

Duas esferas são TANGENTES se, e somente se, suas superfícies têm um único ponto comum.

 

PROPRIEDADE

FUSO ESFÉRICO E CUNHA ESFÉRICA

Para poder definir fuso esférico e cunha esférica, é necessário o conceito de ÂNGULO DIEDRO.

Dois semiplanos, p₁ e p₂, de mesma origem s separam o espaço em duas partes. A reunião desses semiplanos com cada uma dessas partes é chamada de ÂNGULO DIEDRO de faces p₁ e p₂ e aresta s. A medida α do ângulo entre as faces á a medida do ângulo diedro.

     

Para visualizar melhor uma cunha e um fuso esférico, façamos dois cortes em uma laranja com uma faca passando pelo centro da fruta. O pedaço limitado por esses cortes lembra uma cunha esférica, e a casca contida nesse pedaço dá a ideia de fuso esférico.